Алгебра в программе Mathematica

После изучения школьного курса информатики вы панически боитесь компьютеров, программ и всего, что связано с ними? Тогда вам нужно напрочь забыть этот школьный ужастик и прочесть сначала какую-нибудь совсем простую книгу, с помощью которой вы научитесь нажимать клавиши и будете относиться к монитору так же, как к телевизору. (Впрочем, считаю своим долгом предупредить об опасности телевизоров (и компьютеров): их так легко включить, а оторваться от них иногда просто невозможно.) Если захотите после этого познакомиться с азами программирования, советую прочитать начальные главы книги Программирование на языке C/C++. Самоучитель. Но знакомство с ней, как и с любым другим курсом программирования, совсем не обязательно для того, чтобы приступить к чтению данной книги.
Вы умеете включать компьютер, устанавливать программы, но никогда не слышали о системах компьютерной алгебры? Тогда эта книга для вас. В ней есть все, что нужно знать, чтобы приступить к освоению систем компьютерной алгебры и начать применять их для решения самых разнообразных задач.
У вас уже есть опыт применения компьютерной алгебры? Тогда эта книга научит вас применять лучшую из таких систем — систему Mathematica — для решения ваших задач. Впрочем, даже если вы студент, в книге, конечно, едва ли можно найти решения именно тех задач, которые вам преподаватель задал на дом, но здесь есть подробно разобранные примеры решения типовых задач по математике. Конечно, данная книга не может заменить всех учебников по математике, но, надеюсь, она сделает знакомство с ними гораздо более приятным, во всяком случае менее утомительным, чем при традиционном способе проведения выкладок с карандашом и ластиком.
Если же ваши проекты связаны с научными исследованиями и выходят далеко за рамки решения типовых задач, во многих главах вы найдете примеры решения довольно трудных задач и получения вполне современных результатов.

Введение
У вас уже есть опыт применения компьютерной алгебры? Тогда эта книга научит вас применять лучшую из таких систем — систему Mathematica — для решения ваших задач. Впрочем, даже если вы студент, в книге, конечно, едва ли можно найти решения именно тех задач, которые вам преподаватель задал на дом, но здесь есть подробно разобранные примеры решения типовых задач по математике. Конечно, данная книга не может заменить всех учебников по математике, но, надеюсь, она сделает знакомство с ними гораздо более приятным, во всяком случае менее утомительным, чем при традиционном способе проведения выкладок с карандашом и ластиком.
Если же ваши проекты связаны с научными исследованиями и выходят далеко за рамки решения типовых задач, во многих главах вы найдете примеры решения довольно трудных задач и получения вполне современных результатов.

История компьютерных вычислений
С давних времен человек мечтал о машине, которая могла бы выполнять вычисления. Однако что значит вычислять! Когда компьютеры только появились, они, в основном, были предназначены для численных расчетов. Затем они начали применяться для решения задач управления. И хотя в этих приложениях численные расчеты играют весьма важную роль, всегда были ученые, которые понимали, что результаты вычислений могут интерпретироваться не только как числовые значения физических величин



Знакомство с системой Mathematica
После того как запустим систему Mathematica 5, получится примерно то что изображено на 2.1. Большое белое окно слева- блокнот. Именно в него вводится информация, и именно в нем отображаются результаты. Окно в середине - заставка-приветствие и справка. Окно справа - панель для ввода математических символов греческих букв и т.п.

Что такое число
Что такое число? Однозначного ответа на этот вопрос нет. Например, комплексное число — это число или все-таки вектор? А действительное число — это число или сечение во множестве рациональных чисел? А если комплексные числа все-таки числа, то кватернионы — тоже числа или уже объекты другой природы? Ну а если даже кватернионы — все-таки числа, то разве не следует к числам причислить и октавы Кэли? Иногда очень удобно считать, что числа — это элементы любого кольца.

Преобразование непрерывной дроби

Факторизация целых чисел с помощью функции FactorInteger В ряде задач очень важно знать, насколько быстро можно разложить целое число на простые множители. По этой причине давайте рассмотрим, какие числа функция FactorInteger может разложить на простые множители за приемлемое время. Конечно, мы не собираемся факторизовать все числа подряд (для этого не хватило бы и многотомного труда), а займемся только классическими последовательностями. Тест на простоту Чтобы сказать, является ли простым заданное число из 15 или 20 цифр, не хватит всей жизни, даже если использовать все, что уже известно. Что задача различать простые и составные числа, а последние разлагать на простые множители, принадлежит к важнейшим и полезнейшим задачам во всей арифметике и что она занимала ум как древних, так и современных математиков, настолько известно, что было бы излишним тратить на это много слов. Наибольший общий делитель Для нахождения наибольшего общего делителя чисел (целых, рациональных или гауссовых) в системе Mathematica предусмотрено две функции: GCD и ExtendedGCD. Деление с остатком При выполнении операции деления с остатком получается частное и остаток. Для нахождения частного и остатка в системе Mathematica предусмотрены функции Quotient и Mod. Функция Эйлера — EulerPhi Если в полной системе вычетов по модулю nоставить только вычеты, взаимно простые с модулем, получим приведенную систему вычетов по модулю n. Мощность приведенной системы вычетов по модулю n как множества обозначается ?(n), а функция ?:n-?(n) называется функцией Эйлера. Найдем, для примера, приведенную систему вычетов по модулю 10. Работа в системе LaTeX Система компьютерной верстки TeX (произносится "тех") была создана выдающимся американским математиком и программистом Дональдом Кнутом в конце 70-х годов XX века; издательские системы на ее базе по сию пору широко используются и сдавать позиции не собираются. Чем объясняется столь редкое в компьютерном мире долголетие? На первый взгляд, все свидетельствует против TeX'а. В самом деле, в отличие, допустим, от популярного ныне Microsoft Word'а, TeX не является системой типа WYSIWYG (What You See Is What You Get): чтобы посмотреть, как будет выглядеть на печати набираемый текст, надо запустить отдельную программу. И по структуре файлов TeX несовместим с Word'ом (что не удивительно: эта структура мало изменилась с начала 1980-х годов, когда никакого Word'а не было и в помине, а форматы Word-файлов меняются чуть ли не ежегодно). Наконец, чтобы работать в TeX'е, надо потратить определенное время на его изучение: трудно представить себе книгу под названием "TeX for dummies" ("TeX для болванов"). Предисловие Настоящее пособие посвящено популярной издательской системе, основанной на TeX'е, — системе LaTeX. Оно пригодится как читателю, которому необходимо по роду своей работы готовить тексты с формулами, так и специалисту по компьютерной верстке. Для чтения значительной части книги никаких познаний в программировании или полиграфии не требуется: достаточен минимальный опыт работы на персональном компьютере в качестве пользователя. Более сложные разделы, сосредоточенные по большей части в конце книги, предназначены в первую очередь для полиграфистов. Что такое TeX и LaTeX Как уже отмечалось в предисловии, TeX (произносится "тех", пишется также "TeX") - это созданная американским математиком и программистом Дональдом Кнутом (Donald E. Knuth)- система для верстки текстов с формулами. Сам по себе TеX представляет собой специализированный язык программирования (Кнут не только придумал язык, но и написал для него транслятор, причем таким образом, что он работает совершенно одинаково на самых разных компьютерах), на котором пишутся издательские системы, используемые на практике. Как набирать формулы Некоторые из приемов, описываемых здесь, становятся доступными только после подключения специальных стилевых пакетов. Напомним, что слова наподобие "чтобы сделать то-то и то-то, надо подключить стилевые пакеты yweird и queer" означают, что в преамбулу документа следует включить строчку вида \usepackage{weird,queer} Особенно полезны возможности, предоставляемые пакетами amssymb и amsmath, рекомендуем подключать их всегда, если в вашем тексте присутствуют сколько-нибудь сложные формулы. Специальные типографские знаки Большинство знаков препинания (точка, запятая, двоеточие и т.п.) набираются очевидным образом: точке в исходном тексте, например, соответствует типографская точка на печати. В этом разделе речь пойдет о знаках, требующих специального набора. Оформление текста в целом В этой лекции мы рассмотрим такие вопросы, как общий стиль оформления документа, разбиение текста на разделы, титульный лист, оглавление и пр. Система LaTeX освобождает вас от многих забот об оформлении документа, но при этом и навязывает такие черты оформления, которые могут вас по тем или иным причинам не устраивать. От этого "диктата" можно отчасти отойти, если модифицировать стандартные классы, создав свой стилевой пакет (в последней лекции мы расскажем, как это делать). В принципе можно создать и свой собственный класс, весьма далекий от стандартных, но для этого требуются более глубокие познания в TeX'е, чем дает эта книга. Псевдорисунки Когда создавался TeX, а начиналось это в 1978 году, компьютерная графика была развита слабо. Поэтому операция по включению в текст рисунков в виде графических файлов в TeX'е не стандартизирована: TeX допускает импорт графического файла в текст с помощью команды \special, в аргументе которой содержится информация об импортируемом файле, но способ задания этой информации зависит от используемых dvi-драйверов, что снижает переносимость TeX'овских файлов. Печать текста с выравниванием При работе на пишущей машинке печать таблиц, состоящих из нескольких колонок, не вызывала особых проблем: все литеры имели одинаковую ширину. Однако полиграфические шрифты (в частности, используемые TeX'ом) являются, как правило, "пропорциональными" (каждая буква имеет свою ширину), и в этом случае добиться выравнивания в колонках сложнее. Создание новых команд Средства LaTeX'а, описываемые в этой лекции, позволяют сократить число нажатий на клавиши при наборе сложных текстов. Именно, мы расскажем, как создавать новые команды (или, если угодно, сокращенные обозначения), заменяющие собой длинные фрагменты из текста и TeX'овских команд. Официально такие новые команды называются макроопределениями, а в разговорной речи — макросами. Текст состоит из блоков Мы уже отмечали, что в процессе набора TeX не принимает во внимание, как буквы будут выглядеть на печати, а лишь учитывает, сколько места надо отвести на каждый символ. Давайте обсудим этот процесс подробнее. С точки зрения TeX'а, каждая буква представляет собой блок (английский термин: box), т.е. прямоугольник с выделенной точкой отсчета; горизонтальная прямая, проходящая через точку отсчета, называется базисной линией (английский термин: baseline). Блок характеризуется тремя размерами: шириной, высотой и глубиной. Модификация стандартных классов Прежде чем двигаться дальше — два предупреждения. В этой лекции мы расскажем вам, как можно довольно сильно изменить стандартное LaTeX'овское оформление: вы научитесь менять по своему усмотрению шрифты в заголовках, интервалы, отделяющие заголовки от текста, и много других подобных вещей. Но вот первое предупреждение: если вы не являетесь профессиональным полиграфистом, применяйте эти познания с осторожностью. Не пытайтесь менять сразу много разных элементов оформления или резко изменять какие-то параметры: лучше осторожно менять только то, что вам действительно нужно Архитектура TeX'а и LaTeX'а В этом приложении не содержится никаких практических рецептов. Его цель в том, чтобы читатель, прочитавший основную часть книги, получил общее представление о структуре работающего комплекта TeX'а. Что такое PostScript? Если вы когда-либо имели дело со стековыми языками программирования (скажем, с языком FORTH), то догадаетесь, что команда dup удваивает вершину стека, а команда exch меняет местами два верхних элемента. Если же нет, тоже ничего страшного — эти знания нам не пригодятся. Важно лишь понимать, что программа на языке PostScript представляет собой файл, который при исполнении порождает (из одной или нескольких страниц). Этот вовсе не обязан состоять из линий. Гарнитуры Если при чтении книжек вы больше интересовались содержанием, чем оформлением, то могли и не заметить, что они набираются разными шрифтами. Здесь мы имеем в виду не шрифтовые выделения (скажем, жирный — или, как сказали бы полиграфисты, полужирный шрифт), а различные рисунки шрифтов. Полиграфисты называют их гарнитурами. Заглянув в выходные данные книги (особенно изданной несколько десятилетий назад), можно найти там слова " Гарнитура обыкновенная новая" или "Литературная гарнитура". Эти слова означают разные рисунки букв; каждая из гарнитур может включать в себя шрифты различных начертаний (прямые, курсивные, полужирные) и размеров. Классы документов АMS Американское математическое общество (AMS) распространяет три специализированные класса документов, предназначенные для набора математических текстов: amsart , amsproc и amsbook. Оставляя последний в стороне (уж если Американское математическое общество закажет вам монографию, то, наверное, снабдит и подробными инструкциями), остановимся на особенностях оформления документа "в целом", характерных для первых двух классов. Пакет Xy-pic Как мы отмечали вранее, возможностей пакета amscd для печати "коммутативных диаграмм" хватает не всегда: бывают нужны стрелки наклонные, изогнутые и т.д. Для печати таких диаграмм можно воспользоваться стилевым пакетом Xy-pic. Правда жизни Прежде всего, не все издательства вообще знают про TeX. В этом случае автор должен принести готовый оригинал-макет в каком-нибудь известном издательству формате. Чаще всего используется формат PostScript. Теоретически такой файл достаточно передать побайтно в фотонаборное устройство или PostScript-принтер, и текст будет напечатан в нужном виде. На практике, однако, возможны осложнения. В одном популярном московском издательстве не только не умели работать с TeX-файлами, но и PostScript-файл умудрились напечатать с непреднамеренным изменением масштаба, причем разным для разных страниц! Откуда взять TeX? До сих пор мы старательно уходили от разговора о том, как на практике воспользоваться системой LaTeX, — прежде всего потому, что это зависит от того, какая операционная система установлена на вашем компьютере и какая версия TeX'а выбрана. В этом приложении мы попытаемся сказать что-то более конкретное, имея в виду пользователей разных операционных систем. Что читать дальше Во-первых, полезно ознакомиться с книгой LaTeX Companion: в ней приведено описание большого числа разнообразных LaTeX'овских стилевых пакетов плюс некоторые рекомендации по модификации оформления в духе нашей главы 9. Для профессиональных полиграфистов сведения, приведенные в книге (и тем более в нашей книге), важны, но недостаточны: время от времени вы будете сталкиваться с загадочными сообщениями об ошибках или необычным поведением различных стилевых пакетов, не зная, как выправить ситуацию или внести в поведение пакета нужные вам модификации. Forekc.ru Рефераты, дипломы, курсовые, выпускные и квалификационные работы, диссертации, учебники, учебные пособия, лекции, методические пособия и рекомендации, программы и курсы обучения, публикации из профильных изданий